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第一次课 第一章 三角形的证明
知识点一：等腰三角形
1、 全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
判定三角形全等的四种方法： SSS, SAS, ASA, AAS.
2、 等腰三角形的 性质 定理：
①等腰三角形，两底角相等（等 边对等 角）。
②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。 ( “ 三线合一 ”)
③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。 （特殊线段相等） 。
等腰三角形的 判定 定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等 角对等边 ）。
知识点二：等边三角形
1、 等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于 60°。
2、 等边三角形的判定定理：①有一个角是 60°的等腰三角形 是等边三角形。
②三个角都相等的 三角形 是等边三角形。
知识点三：反证法
步骤：①假设：假设结论不成立；
②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论；
③假设不成立； ④原命题成立。
知识点四：直角三角形
1、 直角三角形性质定理：
①角的角度：直角三角形，两锐角互余。
②边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、 直角三角形的判定定理：
①角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。
②边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三角
形是直角三角形。 ）
3、 特殊的直角三角形：
①① 在直角三角形中，有一个角是 30°，则它所对的直角边是斜边的一半。
②② 在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为 30°。
4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。
（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。 ）
知识点五：垂直平分线 （点到点）
1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（垂直平分线 点到点的距离相等）
3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个
顶点的距离相等。 （证明“三点共线” ：先作出其中两条边的交点，再证明该点在第三条线上）
知识点六：角平分线 （点到边）
1、 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、 角平分线性质定理的符号语言： ∵D在∠ ABC的角平分线 BM 上，且 DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF。
3、 角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
4、 平分线判定定理的符号语言（∠ ABC）：∵ DE⊥AB，DF⊥BC，且 DE=DF，所以 D在∠ ABC的角
平分线。
（角平分线 点到边的距离相等）
3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角形三条
边的距离相等。
知识点七：尺规作图：
1、线段垂直平分线的画法：①分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径
画弧线。得到两个交点 (两交点交于线段的两侧 )。②连接这两个交点。
2、等腰三角形的画法：①已知，求作②
例：已知等腰三角形的底和高，求作等腰三角形。
已知：线段 a和b.
求作：等腰三角形 △ABC，使 BC=B，高 AD=a.
解：作法：
①.作射线 BE；
②.在射线 BE 上取一点 C，使 BC=b；
③ 作线段 BC的垂直平分线 MN，交 BC于点 D；
④以点D为圆心，以 a为半径画弧，交 MN 于A；
⑤连接AB、AC.
则△ABC就是所求作的三角形。
判定定理
性质定理
判定定理
性质定理
